Il grafo di vita

Il modo più espressivo e sintetico di schematizzare le informazioni relative al ciclo di vita di una popolazione strutturata per classi d'età è quello di utilizzare un grafo, che possiamo chiamare grafo di vita.

Partiamo anche in questo caso da un semplice esempio. Supponiamo di voler descrivere la dinamica di una popolazione a riproduzione periodica (cioè in cui tutti gli individui si riproducano nel corso di un periodo ristretto dell'anno, chiamato stagione riproduttiva) e con demografia malthusiana. Quest'ultima caratteristica richiede che la popolazione viva in un ambiente in cui le risorse a disposizione di ciascun individuo di una certa età siano costanti nel tempo in maniera tale che la probabilità di morire e il potenziale riproduttivo di ciascun individuo dipenda solo dalla sua età e non anche da altri fattori. Il ciclo di vita di questa ipotetica popolazione sia schematicamente il seguente:

• gli individui vivono al più 3 anni, dopodiché muoiono (cioè nessuno individuo è mai sopravvissuto sino al compimento del quarto anno d'età);
• il rapporto sessi è 1:1 (cioè il 50% degli individui sono femmine) e la stagione riproduttiva coincide con l'inizio della primavera;
• le femmine di un anno d'età non sono ancora riproduttive; le femmine di due anni producono in media 8 piccoli, quelle di tre anni producono 6 piccoli;
• il 40% dei piccoli sopravvive dalla nascita fino al raggiungimento del primo anno di età, l'80% degli individui sopravvive dal primo al secondo anno di età, mentre il 70% sopravvive dal secondo al terzo anno di vita.

Nel caso di riproduzione periodica è conveniente utilizzare, invece del tasso istantaneo di natalità $\nu (x)$ (misurato in anni$^{-1}$), il tasso finito di fertilità $f_x$ definito come il numero di nuovi piccoli di sesso femminile prodotti da ogni madre di età $x$ durante la stagione riproduttiva. Si noti pertanto che la grandezza $f_x$ è adimensionale. Nell'esempio proposto, dunque, possiamo scrivere: $f_{1} =0$, $f_{2} =4$, $f_{3} =3$. Indicheremo poi con $s_{x}$ le frazioni di femmine di età $x$ che sopravvivono sino all'età $x+1$; avremo quindi $s_{0} = 0.4$, $s_{1} = 0.8$, $s_{2} = 0.7$. Come costruire il grafo di vita della popolazione in esame? Come tutti i grafi, esso sarà composto da nodi e da archi:

• Il nodo $x$-esimo ($n_{x}$) rappresenta il numero di femmine che alla fine dell'inverno di un determinato anno $t$, cioè appena prima della riproduzione, hanno età $x$. Grazie a questa convenzione nella misurazione del tempo, ad ogni conteggio tutti gli individui hanno almeno un anno d'età: in questo modo sono necessari tre soli nodi ($x = 1,2,3$) per descrivere la dinamica della popolazione in esame, come indicato nella Fig. 4.
• Gli archi schematizzano i processi che determinano la dinamica della popolazione, cioè i fattori che modificano il numero di femmine presenti l'anno seguente al $t$-esimo. Tali archi hanno significato biologicamente diverso a seconda che il nodo in cui si immettono sia $n_{1}$ (archi a tratto continuo in Fig. 4) o uno qualunque degli altri (archi tratteggiati). Gli archi a tratto continuo indicano il contributo delle madri in termini di nuove nate (fertilità), mentre gli archi tratteggiati rappresentano il processo di invecchiamento (sopravvivenza).

Figura 4: Grafo di vita di una popolazione teorica strutturata in tre classi di età.