Matrice di Leslie

Da un punto di vista matematico, è facile tradurre le informazioni riportate nel grafo di vita in un modello. Le variabili del modello sono indicate con $n_{x}(t)$ e rappresentano il numero di femmine che nell'anno $t$ hanno età $x$. Esse sono tante quante sono i nodi del grafo di vita: nell'esempio presentato prima avremo pertanto tre variabili: $n_{1}(t)$, $n_{2}(t)$ e $n_{3}(t)$.

Invecchiamento: se si indica con $s_{x}$ la sopravvivenza annuale di una femmina di età $x$, l'equazione che descrive la dinamica delle femmine che hanno più di un anno di età ($x > 1$) è la seguente

$$n_{x + 1}(t+1) = s_{x} n_{x}(t)$$

Tradotta in parole essa suona così: ``le femmine che nell'anno $t+1$ hanno età $x+1$ sono le sopravvissute fra tutte quelle che nell'anno $t$ avevano età $x$''. Con riferimento al nostro esempio, essendo $s_{1} = 0.8$ e $s_{2} = 0.7$, possiamo dunque scrivere

$$n_{2} (t+1) = 0.8 n_{1}(t)$$

e

$$n_{3} (t+1) = 0.7 n_{2} (t)$$

Riproduzione: l'equazione che descrive la dinamica delle femmine di un anno di età è invece più complessa. Se è vero, infatti, che ``le femmine che hanno età 1 nell'anno $t+1$ sono le sopravvissute fra quelle che avevano età 0 nell'anno $t$'' occorre specificare quante sono le nuove nate nell'anno $t$. Con riferimento al problema proposto, dal momento che:

• ogni femmina di due anni di età genera 8 piccoli (cioè $f_{2}$ = 4 femmine per madre, poiché il rapporto sessi è 1:1);
• ogni femmina di tre anni di età genera $f_{3}$ = 3 femmine per madre;
• il 40% delle nuove nate sopravvive sino al compimento del primo anno di età,

l'equazione cercata diventa allora

$$n_{1}(t+1) = 0.4 (4 n_{2}(t) + 3 n_{3}(t)) = 1.6 n_{2}(t) + 1.2 n_{3}(t)$$

Nella sua forma completa, il modello che descrive compiutamente la dinamica della nostra popolazione è esprimibile attraverso le tre equazioni

$$\left\{\begin{array}{rcl} n_{1}(t+1) & = & 1.6 n_{2}(t) + 1.2 n_{... ...(t+1) & = & 0.8 n_{1}(t)\\ n_{3} (t+1) & = & 0.7 n_{2} (t) \end{array}\right.$$

Queste equazioni definiscono un modello di proiezione demografica o modello di Leslie. Il modello può essere rappresentato in modo particolarmente compatto attraverso la sua forma matriciale:

$$n(t+1) = M\cdot n(t)$$ (7.5)

dove $n(t)=\left[n_1(t) \quad n_2(t) \quad n_3(t)\right]^T$ è un vettore colonna (l'apice $T$ indica l'operazione di trasposizione di matrice) e la matrice $M$, detta matrice di Leslie, è quadrata e pari, nel caso in esame, a

$$M = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1.6 & 1.2\\ 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 0.7 & 0 \end{array} \right]$$

In generale, la matrice di Leslie ha tante righe e colonne quante sono le classi d'età (quindi 3 nel nostro esempio). Per una popolazione generica con $m$ classi d'età la matrice di Leslie è del tipo:

$$M = \left[ \begin{array}{ccccc} s_0 f_1& s_0 f_2 & \cdots & s_0... ... & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {s_{m-1}} & 0 \\ \end{array} \right]$$

avendo assunto di indicare con $f_{x}$ il numero di nuove femmine generate da madri di età $x$ e con $s_{x}$ le sopravvivenze. Il modello di Leslie rappresenta il modo più semplice ed immediato con cui è possibile tener conto delle dipendenza dall'età dei parametri demografici di una popolazione. A partire da una distribuzione iniziale $\mathbf{n}_{0}$ di individui nelle diverse classi d'età ( $x=1, 2, \ldots, m$), è possibile simulare nel tempo la dinamica della popolazione o calcolare esplicitamente la soluzione dopo $t$ anni. Iterando infatti l'equazione (10) si ha

$$\mathbf{n}_{t} = \mathbf{M}^{t}\cdot \mathbf{n}_{0}$$

Se, nel caso del nostro esempio, la popolazione nell'anno 0 fosse costituita da 40 femmine di un anno di età, nessuna di due anni e 20 di tre anni di età, ovvero

$$\mathbf{n}_0 = \left[ \begin{array}{l} 40\\ 0\\ 20 \end{array} \right]$$

la composizione della popolazione nell'anno seguente sarebbe

$$\mathbf{n}_1 = M \cdot \mathbf{n}_0 = \left[\begin{array}{ccc} ... ...rray}\right] = \left[\begin{array}{l} 24\\ 32\\ 0 \end{array}\right]$$

mentre nell'anno 2 si avrebbe

$$n_2 = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1.6 & 1.2\\ 0.8 & 0 & 0 \\ ... ...ght] = \left[\begin{array}{l} 51.2 \\ 19.2 \\ 22.4 \end{array}\right]$$