Climatologia

La temperatura della superficie terrestre

Se la terra fosse priva di atmosfera sarebbe praticamente una palla di ghiaccio. Non è difficile ricavare con un semplice ragionamento termodinamico che la sua temperatura superficiale media sarebbe ben al di sotto di 0$^\circ$ C. Infatti la temperatura risulterebbe dall'equilibrio tra la radiazione solare incidente e l'irraggiamento della terra come mostrato in Fig. 1. Il flusso di calore entrante è dovuto all'assorbimento della radiazione solare incidente che è sostanzialmente dominata da lunghezze d'onda corte (luce visibile) mentre il flusso di calore uscente è dovuto all'irraggiamento della terra ed è sostanzialmente dominato da lunghezze d'onda più lunghe (radiazione infrarossa).

Grazie alla prima legge della termodinamica, possiamo scrivere

$$\Delta E = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = C\Delta T$$

dove $\Delta E$ è la variazione di energia interna della terra, $Q_{\text{in}}$ è la quantità di calore assorbita dalla terra e $Q_{\text{out}}$ è la quantità di calore persa dalla terra, $C$ è la sua capacità termica mentre $\Delta T$ è la variazione della sua temperatura. Se consideriamo un intervallo di tempo $\Delta t$ la variazione della temperatura terrestre nell'unità di tempo sarebbe data da

$$\dfrac{C\Delta T}{\Delta t} = F_{\text{in}} - F_{\text{out}}$$

dove $F_{\text{in}}$ e $F_{\text{out}}$ rappresentano i flussi di calore (ovvero calore nell'unità di tempo) entrante e uscente. Al limite, per $\Delta t \to 0$ otteniamo

$$\frac{C dT}{dt} = F_{\text{in}} - F_{\text{out}}$$

Il flusso di calore $F_{\text{in}}$ può essere approssimativamente calcolato come segue. La potenza $S$ della radiazione solare incidente per unità di area è approssimativamente costante, perché l'orbita della terra è quasi circolare e quindi la distanza dal sole varia di poco, così come di poco varia la potenza emessa dal sole. Dalle misurazioni effettuate, si stima che $S$ valga in media 1,368 kW m$^{-2}$. L'energia totale che raggiunge la terra nell'unità di tempo è perciò $\pi$R$^{2}S$, dove $R$ è il raggio della terra. Bisogna infatti tenere presente che i raggi del sole non arrivano perpendicolarmente su tutti i punti della superficie terrestre e inoltre arrivano solo su una faccia della terra: dobbiamo perciò considerare metà della superficie terrestre ( $1/2\cdot 4\pi R^2=2\pi R^{2}$) e proiettare la superficie di questa mezza sfera illuminata in direzione parallela ai raggi del sole, ottenendo così un cerchio di area $\pi R^{2}$. Tuttavia il calore assorbito dalla terra non raggiunge il valore $\pi R^{2}S$: infatti, una frazione $\alpha$ della radiazione solare incidente, che viene chiamata coefficiente di albedo, è riflessa. L'albedo varia nel tempo e nello spazio perché superfici diverse hanno diverso potere riflettente, ma possiamo assumere un valore medio $\alpha = 0.3$. Ricaviamo pertanto, finalmente, la formula per il flusso di calore incidente:

$$F_{\text{in}} = (1-\alpha) \pi R^{2}S.$$

Figura 1: Schema dei flussi di calore assorbiti e irraggiati dalla terra.

Il flusso $F_{\text{out}}$ può invece essere determinato a partire dalla legge di Stefan-Boltzmann. Secondo tale legge la radiazione di un corpo avente una certa temperatura (la cosiddetta radiazione di corpo nero) aumenta con la quarta potenza della temperatura assoluta del corpo radiante. In particolare la potenza emessa per unità di superficie da un perfetto corpo nero a temperatura $T$ è pari a $\sigma T^{4}$ con $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ W m $^{- 2}\,K^{-4}$. La terra è in realtà un corpo ``grigio'', ma in prima approssimazione possiamo usare l'espressione teorica di Stefan-Boltzmann e quindi ottenere il flusso uscente semplicemente moltiplicando per la superficie terrestre ( $4\pi R^{2}$)

$$F_{\text{out}} = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}.$$

In definitiva possiamo dire che le variazioni di temperatura della superficie terrestre in assenza di atmosfera sarebbero approssimativamente governate dall'equazione

$$\frac{C dT}{dt} = (1-\alpha) \pi R^{2}S - 4\pi R^{2}\sigma T^{4}.$$

In condizioni di equilibrio, cioè per $dT/dt = 0$, il flusso di calore entrante deve uguagliare quello uscente e pertanto si ha

$$(1-\alpha) S = 4\sigma T^{4}$$

espressione dalla quale si può ricavare quale sarebbe la temperatura di equilibrio della terra in assenza di atmosfera, ovvero

$$T_{0} = [(1-\alpha) S/4\sigma]^{1/4} \quad \cong 255 K = -18\ensuremath{^\circ}~C.$$

Va notato che se la temperatura fosse inferiore a $T_{0}$ allora il flusso di calore entrante sarebbe maggiore di quello uscente ( $\Delta F = F_{\text{in}} - F_{\text{out}} > 0$) e la temperatura tenderebbe ad aumentare, mentre se la temperatura fosse superiore a $T_{0}$ allora $\Delta F <0$ e quindi la temperatura tenderebbe a diminuire. Possiamo perciò concludere che se la terra fosse priva di atmosfera essa raggiungerebbe più o meno in media i -18$^{o}$C.

Per fortuna la terra, a differenza della luna, ha una massa tale da garantire un'attrazione gravitazionale sufficiente a contrastare in modo efficace i movimenti casuali delle molecole di gas. In questa maniera le molecole gassose sono trattenute vicino alla crosta terrestre e formano l'atmosfera. L'atmosfera con tutti i suoi gas componenti (vedi Tab. 1.1) e le nuvole alterano il semplice quadro termodinamico tratteggiato prima. Attraverso un effetto simile a quello di una serra, la terra è in grado di catturare calore nell'atmosfera e di mantenere così la temperatura superficiale media a circa 15$^\circ$ C.

Tabella 1: La composizione dell'atmosfera.

Costituente	Formula	Peso molecolare	Volume (%)	Massa totale
	chimica	($^{12}$C=12)	in aria secca	(grammi)
Atmosfera totale	--	--	--	5.136$\times$ 10$^{21}$
Vapore acqueo	H$_2$O	18.01	variabile	0.017$\times$ 10$^{21}$
Aria secca	--	28.96	100	5.119 $\times$ 10$^{21}$
Azoto	N$_2$	28.01	78.08	3.866 $\times$ 10$^{21}$
Ossigeno	O$_2$	32	20.948	1.185 $\times$ 10$^{21}$
Argo	Ar	39.95	0.934	6.59 $\times$ 10$^{19}$
Anidride carbonica	CO$_2$	44	0.0315	2.45 $\times$ 10$^{18}$
Neon	Ne	20.18	1.18$\times$ 10$^{-3}$	6.48 $\times$ 10$^{16}$
Elio	He	4	5.4$\times$ 10$^{-4}$	3.71 $\times$ 10$^{15}$
Metano	CH$_4$	16.04	$1.5\times 10^{-4}$	$4.3\times 10^{15}$
Idrogeno	H$_2$	3.01	$<10^{-4}$	$1.8\times 10^{14}$
Protossido d'azoto	N$_2$O	44.01	$<10^{-4}$	$2.3 \times 10^{15}$
Monossido di carbonio	CO	28.01	$<10^{-4}$	$5.9 \times 10^{14}$
Ammoniaca	NH$_3$	17.03	$<10^{-4}$	$3 \times 10^{13}$
Biossido di azoto	NO$_2$	46	$<10^{-4}$	$8.1 \times 10^{12}$
Anidride solforosa	SO$_2$	64.06	$<10^{-4}$	$2.3 \times 10^{12}$
Acido solfidrico	H$_2$S	34.08	$<10^{-4}$	$12 \times 10^{12}$
Ozono	O$_3$	47.99	variabile	$3.3 \times 10^{15}$

Il bilancio delle radiazioni incidenti, assorbite e irraggiate dalla terra è presentato in Fig. 2. Viene fatta pari a 100 unità la radiazione solare incidente, la quale è sostanzialmente dominata da lunghezze d'onda corte. Di queste 100 unità, 23 sono assorbite dall'atmosfera, 31 sono riflesse come onde corte dall'aria, dalle nubi e dalla superficie terrestre e 46 sono assorbite dalla superficie terrestre. Poiché la temperatura terrestre è approssimativamente in equilibrio, bisogna che il flusso uscente dalla superficie terrestre sia anch'esso pari a 46 unità. Di queste, 7 unità vanno a riscaldare direttamente l'atmosfera (calore sensibile), 24 vanno nell'evaporazione delle masse d'acqua (il cosiddetto calore latente) e infine 15 sono irraggiate dalla terra sotto forma di onde lunghe (radiazione infrarossa). Una parte di queste onde lunghe (6 unità) è catturata dalle nubi, dal vapor d'acqua, dall'ozono, dall'anidride carbonica, dal protossido d'azoto (ossido nitroso) e dal metano. Ecco perché si dice che questi sono dei gas serra: essi sono infatti in grado di trattenere il calore nell'atmosfera. È da notare che anche l'atmosfera (nubi, vapor d'acqua e vari gas componenti) è pure all'incirca in equilibrio termico: poiché essa riceve 23 unità direttamente dal sole e 37 dalla terra (6 come onde lunghe, 7 come calore sensibile e 24 come calore latente), ci deve essere necessariamente un'emissione di 60 unità dell'atmosfera verso lo spazio esterno. Infatti 20 unità sono emesse sotto forma di onde lunghe dalle nubi e 40 dal vapor d'acqua, dall'ozono e dall'anidride carbonica.

Paragonare l'atmosfera ad una serra non è del tutto appropriato: in una serra, infatti, l'aria è sostanzialmente ferma, mentre come ben sappiamo l'atmosfera terrestre è caratterizzata da forti movimenti convettivi che sono dovuti sia alla rotazione della terra sia al fatto che l'aria più calda è più leggera di quella fredda e tende quindi a muoversi verso l'alto. In primissima approssimazione, possiamo però trascurare questi movimenti e cercare di capire come variano la pressione e la temperatura con la quota in una colonna d'aria sostanzialmente immobile.

Figura 2: L'effetto serra è dovuto alla presenza di anidride carbonica e di altri gas (vapore d'acqua, ozono, protossido d'azoto, ecc.). La figura presenta il bilancio delle radiazioni provenienti dal sole e di quelle assorbite, riflesse e irraggiate dalla terra. Tratto da MacCracken (1985). Vedi testo per maggiori spiegazioni.

Profilo di pressione e struttura generale dell'atmosfera

Vediamo come si può dedurre l'andamento della pressione. Consideriamo una colonna d'aria in cui ogni volumetto d'aria (vedi Fig. 3) è in equilibrio meccanico. Indichiamo con $h$ l'altezza relativa al livello del mare a cui si trova un volumetto infinitesimo di area $A$ e di spessore $dh$ e cerchiamo di determinare come varia la pressione $p$ in funzione di $h$. Sul volumetto di densità $\rho$ (ricordiamo che $\rho$ è una massa per unità di volume) si esercita in direzione verticale una forza peso pari a $\rho \cdot Adh\cdot g$ (con $g$ indichiamo l'accelerazione di gravità) e due forze dovute alle pressioni sulla faccia inferiore e sulla faccia superiore del volumetto: i moduli di tali forze valgono rispettivamente $p(h)A$ e $p(h+dh)A$. Perché il volumetto sia in equilibrio meccanico dobbiamo avere

$$p(h)A=p(h+dh) A + \rho A dh g$$

ovvero

$$p(h+dh) - p(h) = - g\rho dh.$$

Figura 3: Schema delle forze agenti su di un volumetto d'aria infinitesimo.

Passando al limite per $dh \to 0$, otteniamo che la pressione deve soddisfare la seguente semplice equazione differenziale

$$\frac{dp}{dh} = - g\rho.$$

Questa equazione non è tuttavia sufficiente a determinare come varia la pressione, perché dovremmo sapere come varia la densità dell'aria con l'altezza e la densità dipende dalla pressione medesima, dalla temperatura, ecc. Possiamo però supporre che l'aria sia praticamente assimilabile a un gas perfetto e che quindi valga per essa la legge dei gas perfetti che lega pressione, volume e temperatura secondo la relazione (valevole per una mole di gas)

$$pV=RT$$

dove $R$ è la costante dei gas perfetti. Possiamo sostituire al volume $V$ la densità tenendo presente che $\rho = M/V$ dove $M$ è il peso molecolare in grammi del gas e $V$ è il volume occupato da una mole (grammimolecola) del gas. Otteniamo così la legge dei gas perfetti sotto la forma

$$\frac{pM}{RT} = \rho.$$

Possiamo perciò derivare come varia il gradiente di pressione in funzione della pressione medesima e della temperatura:

$$\frac{dp}{dh} = - \frac{pMg}{RT}.$$ (1.1)

Sotto l'ipotesi estremamente semplificativa che la temperatura della colonna d'aria sia costante con la quota, l'equazione (1) è lineare in $p$ e quindi la sua soluzione è una semplice funzione esponenziale. Perciò si ottiene che la pressione dell'aria diminuisce esponenzialmente con la quota ovvero

$$p(h)=p(0) \exp\left(-\frac{hMg}{RT}\right)$$

dove con $p(0)$ si indica la pressione al livello del mare.

Nella realtà, la temperatura non è per nulla costante con la quota: sappiamo benissimo che andando in montagna l'aria si raffredda. Nonostante la forte approssimazione introdotta, il modello di colonna isoterma funziona comunque piuttosto bene per descrivere la variazione di pressione con la quota. Si osserva infatti sperimentalmente proprio un declino esponenziale della pressione con la quota: si ha che più o meno vale la relazione

$$\log_{10}(p) = -0.06\cdot h$$

se si esprime $p$ in atmosfere e $h$ in chilometri. Come esercizio provate a calcolare la temperatura che dovrebbe avere una colonna isoterma per garantire il profilo sperimentale (approssimate l'aria come un miscuglio di azoto e ossigeno).

Più complicato è cercare di determinare anche approssimativamente il profilo di temperatura. A questo scopo bisognerebbe anche considerare la termodinamica di ogni volumetto di atmosfera e non solo la meccanica. Una buona approssimazione è quella in cui la colonna viene considerata adiabatica, ovvero senza scambi di calore con l'esterno; nel caso si utilizzi una colonna adiabatica umida (in cui si tiene anche conto del calore latente) il gradiente di temperatura è di circa 0.6 gradi ogni 100 metri. Ci limitiamo qui a descrivere qual è il profilo di temperatura sperimentalmente osservato (vedi Fig. 4), spiegando a grandi linee le ragioni di tale andamento. Essenzialmente si può dividere l'atmosfera nei seguenti quattro strati che sono proprio individuati dai diversi gradienti di temperatura che li caratterizzano.

Figura 4: Profilo di temperatura al variare dell'altitudine. Vengono anche riportate le pressioni corrispondenti (si noti la scala logaritmica).

Troposfera

È la zona dell'atmosfera a contatto con il suolo: si estende fino a 15-18 km di altitudine. Contiene il 90% della massa totale dell'atmosfera. È più sottile ai poli (6-8 km) che ai tropici (16-18 km). La troposfera è scaldata principalmente dalla terra. Ne deriva che la temperatura è decrescente con l'altitudine (gradiente negativo), anche perché volumetti d'aria a maggiore altitudine sono sottoposti a minore pressione e possono espandersi a scapito dell' energia interna. Nella troposfera la temperatura varia da 15$^\circ$ C a -70$^\circ$ C.

Stratosfera

È spessa poco meno di 50 km e contiene il 9.5% della massa atmosferica. La temperatura è approssimativamente costante per i primi 15 km oltre i quali si innalza fino a poco meno di 0$^\circ$ C. Esiste quindi un gradiente positivo di temperatura. Le ragioni di tale gradiente sono le seguenti. La stratosfera è essenzialmente scaldata dalla radiazione solare assai ricca di raggi ultravioletti. In questa fascia dell'atmosfera si ha quindi la massima concentrazione di ozono (O$_{3}$) e di ossigeno atomico. Infatti i raggi ultravioletti presenti nella radiazione solare sono particolarmente energici e spaccano la molecola di ossigeno così che l'ossigeno atomico si combina con l'ossigeno molecolare formando ozono. L'ozono formato dai raggi ultravioletti è in grado di assorbire efficacemente i raggi ultravioletti medesimi e quindi agli strati inferiori della stratosfera arriva una radiazione solare meno energetica: ecco perché la temperatura della stratosfera va diminuendo al diminuire della quota.

Mesosfera

È spessa circa 30 km e contiene meno dell'1% della massa atmosferica. La temperatura diminuisce con l'altezza perché la concentrazione di ozono è così bassa che non è in grado di trattenere molti raggi ultravioletti. La radiazione solare non filtrata è intensa. La mesosfera è la zona in cui bruciano i piccoli meteoriti che colpiscono la nostra terra.

Termosfera

È la parte più esterna dell'atmosfera, che giunge a confondersi con lo spazio. Qui si ha un incremento di temperatura perché in questo strato più esterno le molecole d'aria filtrano i raggi X e le altre radiazioni mortali che altrimenti colpirebbero la terra. Si tratta di radiazioni con frequenze ancora più alte dei raggi ultravioletti e quindi ancora più energetiche. Gli strati più esterni della termosfera sono molto caldi ma l'aria è così rarefatta che il calore trattenuto non ha alcun effetto sul clima della Terra. La termosfera è fortemente ionizzata; per questa ragione le onde radio vengono riflesse da questa regione atmosferica permettendo così le comunicazioni radio tra ogni parte del nostro globo.